重心坐标系（Barycentric Coordinate System）是由德国数学家奥古斯特·莫比乌斯于1827年提出的一种坐标系。它在平面向量、解三角形与立体几何等多个模块中都可以解决某些问题。
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基础概念
\(O\) 为空间中随意选取的一点。在某个平面内，给定一个三角形 \(\triangle ABC\)，则对于这个平面内的任意一点 \(P\)，都存在唯一实数组 \((x, y, z)\)，使得：
\[ \vec{OP} = x\vec{OA} + y\vec{OB} + z\vec{OC} \]
且满足条件：\(x + y + z = 1\)。
可以证明，当 \(P, A, B, C\) 四个点给定时，\(x, y, z\) 的值不随 \(O\) 的选取而改变。因此，为了书写方便，可以把 \(O\) 省略，简写成
\[P = xA + yB + zC\]
这里的 \((x, y, z)\) 就是点 \(P\) 关于 \(\triangle ABC\) 的重心坐标。
证明
根据平面向量基本定理，存在（唯一的）实数 \(y\) 和 \(z\)，使得
\[\vec{AP} = y\vec{AB} + z\vec{AC}\]
在空间中随便找一个 \(O\)。根据向量加法，\(\vec{AP} = \vec{OP} - \vec{OA}\)，\(\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}\)，\(\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA}\)，代入上面的式子：
\[\vec{OP} - \vec{OA} = y(\vec{OB} - \vec{OA}) + z(\vec{OC} - \vec{OA})\]
把 \(\vec{OP}\) 留在一边，其他的移到右边，整理得到：
\[\vec{OP} = (1 - y - z)\vec{OA} + y\vec{OB} + z\vec{OC}\]
设 \(x = 1 - y - z\)，那么上面的式子就变成了：
\[\vec{OP} = x\vec{OA} + y\vec{OB} + z\vec{OC}\]
当点 \(P\) 在 \(\triangle ABC\) 内部时，\(x, y, z\) 均为正数，且分别等于以 \(P\) 为顶点的小三角形面积与总面积之比：
\[x = \frac{S_{\triangle PBC}}{S_{\triangle ABC}}, \quad y = \frac{S_{\triangle PCA}}{S_{\triangle ABC}}, \quad z = \frac{S_{\triangle PAB}}{S_{\triangle ABC}}\]
将 \(O\) 移至点 \(P\)，结合上述面积比例，可得 so called 奔驰定理
\[S_{\triangle PBC}\vec{PA} + S_{\triangle PCA}\vec{PB} + S_{\triangle PAB}\vec{PC} = \vec{0}\]
立体几何中的应用
给定空间任意平面 \(\alpha\)，若 \(A, B, C\) 在 \(\alpha\) 同侧，则 \(P=xA+yB+zC\) 到 \(\alpha\) 的距离 \(h_P\)，可以由 \(A, B, C\) 到 \(\alpha\) 距离 \(h_A, h_B, h_C\) 表示：
\[h_P = x \cdot h_A + y \cdot h_B + z \cdot h_C\]
证明
设平面 \(\alpha\) 的一个单位法向量为 \(\vec{n}\)。在平面 \(\alpha\) 上随便找一点 \(M\)，则
\[h_P = \vec{MP} \cdot \vec{n}\]
不妨设 \(\vec{MP} \cdot \vec{n}>0\)
由于
\[\vec{MP} = x\vec{MA} + y\vec{MB} + z\vec{MC}\]
故
\[ \begin{align} h_Q &= (x\vec{MA} + y\vec{MB} + z\vec{MC}) \cdot \vec{n}\\ &= x(\vec{MA} \cdot \vec{n}) + y(\vec{MB} \cdot \vec{n}) + z(\vec{MC} \cdot \vec{n})\\ &= x \cdot h_P + y \cdot h_B + z \cdot h_C \end{align} \]
由于我们要求 \(A, B, C\) 都在 \(\alpha\) 同侧，\(\vec{MA} \cdot \vec{n}\)、\(\vec{MB} \cdot \vec{n}\)、\(\vec{MC} \cdot \vec{n}\) 同号。
若不在同一侧，将距离视为“有向距离”即可。
等式两边同乘 \(\frac{1}{3} S_{底面}\)，得到体积
\[V_{P-\text{底面}} = xV_{A-\text{底面}} + yV_{B-\text{底面}} + zV_{C-\text{底面}}\]
例题：（2025武汉二调）四棱锥 \(P-ABCD\) 中，\(AB=AD=\sqrt{10}\)，\(CB=CD=5\)，\(\angle BAD=90^\circ\)，\(PB=4\)，\(PC=3\)，\(\triangle PBC\) 内部点 \(Q\) 满足四棱锥 \(Q-ABCD\) 与三棱锥 \(Q-PAD\) 的体积相等，求 \(PQ\) 长的最小值。
点 \(Q\) 在 \(\triangle PBC\) 内，我们可以设 \(Q = xP + yB + zC\)，其中 \(x, y, z \ge 0\) 且 \(x + y + z = 1\)。设顶点 \(P\) 到底面 \(ABCD\) 的距离为 \(h\)。
\[ \begin{align} V_{Q-ABCD} &= x V_{P-ABCD} + y V_{B-ABCD} + z V_{C-ABCD}\\ &= x V_{P-ABCD} = x \cdot (\frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot h)\\ &= \frac{1}{3} \times 15 \times xh = 5xh \end{align} \]
因为点 \(B, C\) 就在底面 \(ABCD\) 上，所以以它们为顶点的体积为0
\[ \begin{align} V_{Q-PAD} &= x V_{P-PAD} + y V_{B-PAD} + z V_{C-PAD}\\ &= y V_{P-ABD} + z V_{P-ACD}\\ &= \frac{1}{3} S_{ABD} \cdot h + \frac{1}{3} S_{ACD} \cdot h\\ &= \frac{5}{3}yh + \frac{5}{2}zh \end{align} \]
根据题目已知 \(V_{Q-ABCD} = V_{Q-PAD}\)，可得 \(5xh = \frac{5}{3}yh + \frac{5}{2}zh\)，化简得
\[5x = \frac{5}{3}y + \frac{5}{2}z\]
将 \(x = 1 - y - z\) 代入上式，得
\[8y + 9z = 6\]
由条件可知，\(\triangle PBC\) 是以 \(\angle BPC = 90^\circ\) 为直角的直角三角形。
由于 \(Q = xP + yB + zC\)，故 \(\vec{PQ} = x\vec{PP} + y\vec{PB} + z\vec{PC}=y\vec{PB} + z\vec{PC}\)。
因此
\[ \begin{align} PQ^2 &= y^2|\vec{PB}|^2 + z^2|\vec{PC}|^2\\ &= y^2 \cdot 4^2 + z^2 \cdot 3^2\\ &= 16y^2 + 9z^2 \end{align} \]
使用柯西不等式：
\[[(4y)^2 + (3z)^2] \cdot [2^2 + 3^2] \ge ( 4y \cdot 2 + 3z \cdot 3 )^2=36\]
即 \(PQ^2 \ge \frac{36}{13}\)
三角形四心的重心坐标
- 重心 \(G\)：\(1:1:1\) \[G = \frac{1}{3}A + \frac{1}{3}B + \frac{1}{3}C\]
- 内心 \(I\)：\(a:b:c\)（\(a,b,c\) 为对边长） \[I = \frac{a}{a+b+c}A + \frac{b}{a+b+c}B + \frac{c}{a+b+c}C\]
- 外心 \(O\)：\(\sin 2A : \sin 2B : \sin 2C\)
- 垂心 \(H\)：\(\tan A : \tan B : \tan C\)
