近期遇到了不少包含绝对值的问题，本文总结了各种处理方式。
高三复习总结产物，主要用于自己看，内容并不详细，若有时间会完善。
直接去绝对值
即利用绝对值定义去绝对值，适用于简单的问题
- 分类讨论：\(|x|=\begin{cases}x, & x \geq 0 \\ -x, & x<0\end{cases}\)
- \(|x|<a\) 当且仅当 \(x>-a\) 且 \(x<a\)（即 \(-a<x<a\)）
\(|x|>a\) 当且仅当 \(x<-a\) 或 \(x>a\)
\(|x|=a\) 当且仅当 \(x=-a\) 或 \(x=a\)
需要掌握去绝对值的基本功，但可能比较麻烦，不一定适合作为解题时的首选方案。
数形结合
差的绝对值=距离
属于初中知识，不要丢掉了
例 1：已知 \(f(x)=|x-a|+a\) 在区间 \([4,5]\) 上最大值为 \(5\)，求 \(a\) 的取值范围。
题目可以可以这样理解：
动点 \(x\) 在 \([4,5]\) 上运动，它到定点 \(a\) 的最大距离再加上 \(a\) 得到的数为 \(5\)，求常数 \(a\) 的取值范围。
通过简单画图分析即可得出答案 \((-\infty, \frac{9}{2}]\)
例 2：已知 \(|x+m|+|x-m|=2|m|\) 恰有 \(3\) 个整数解，求 \(m\) 的取值范围。
动点 \(x\) 到定点 \(m\) 的距离与到定点 \(-m\) 的距离之和为 \(2|m|\)，画图可知 \(x\) 夹在在 \(m\) 和 \(-m\) 之间，不难求出 \(m\) 取值范围为 \((-2, -1]\cup[1, 2)\)，此时恰有三个整数解 \(x=-1,0,1\)
最值函数
\(|x|\) 就是 \(x\) 和 \(-x\) 两个数中较大的，即
\[|x| = \max\{x, -x\}\]
同理，\(-|x|\) 就是 \(x\) 和 \(-x\) 两个数中较小的，即
\[-|x| = \min\{x, -x\}\]
于是可以得到
\[ \displaylines{ x + |y| = x + \max\{y, -y\} = \max\{x+y, x-y\}\\ x - |y| = x + \min\{y, -y\} = \min\{x+y, x-y\} } \]
第二个等号成立基于一个显然的事实：\(a + \max\{b, c\} = \max\{a+b, a+c\}\)
更复杂地：
\[ \begin{align} |x| + |y| &= \max\{x, -x\} + \max\{y, -y\} \\ &= \max\{x+y, x-y, -x+y, -x-y\}\\ &= \max\{\max\{x+y,-x-y\}, \max\{x-y, -x+y\}\}\\ &= \max\{|x+y|, |x-y|\} \end{align} \]
在难以通过讨论正负去绝对值时，将绝对值转化成最值是一个有效地处理方式，例如
例 1：设 \(a\in\mathbb{R}\)，函数 \(f(x)=ax^2-2x-|x^2-ax+1|\) 恰有两个零点，求 \(a\) 的取值范围。
绝对值内同时有 \(a\) 和 \(x\)，分类讨论复杂，但转化为最值函数
\[ \begin{align} f(x) &= \min\{ax^2-2x+(x^2-ax+1), ax^2-2x-(x^2-ax+1)\}\\ &= \min\{(a+1)x^2-(a+2)x+1, (a-1)x^2+(a-2)x-1\}\\ &= \min\{[(a+1)x-1](x-1), [(a-1)x-1](x+1)\} \end{align} \]
再按照 \(a\) 的取值分类讨论会更加易于处理
例 2：已知函数 \(f(x)=|x^3-m|+x^3-x^2\) 有三个零点，求则实数 \(m\) 的取值范围。
\[ \begin{align} f(x) &= \max\{(x^3-m)+x^3-x^2, -(x^3-m)+x^3-x^2\}\\ &= \max\{2x^3-x^2-m, -x^2+m\} \end{align} \]
简单分析图像即可得出答案 \((-\frac{1}{27}, 0)\cup(0, 1)\)
此外，最值也可以转化成绝对值
根据
\[ \displaylines{ a = \frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2}\\ b = \frac{a+b}{2} - \frac{a-b}{2} } \]
可以得到
\[ \begin{align} \max\{a,b\} &= \max\left\{\frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2}, \frac{a+b}{2} - \frac{a-b}{2}\right\}\\ &= \frac{a+b}{2} + \max\left\{\frac{a-b}{2}, -\frac{a-b}{2}\right\}\\ &= \frac{a+b}{2} + \left|\frac{a-b}{2}\right|\\ \end{align} \]
\[ \begin{align} \min\{a,b\} &= \min\left\{\frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2}, \frac{a+b}{2} - \frac{a-b}{2}\right\}\\ &= \frac{a+b}{2} + \min\left\{\frac{a-b}{2}, -\frac{a-b}{2}\right\}\\ &= \frac{a+b}{2} - \left|\frac{a-b}{2}\right|\\ \end{align} \]
这同时意味着 \(\max\{a,b\} \geq \frac{a+b}{2}\), \(\min\{a,b\} \leq \frac{a+b}{2}\)，当且仅当 \(a=b\) 时等号成立
平方
- \(|A| = |B|\) 可以等价地转化为 \(A^2=B^2\)，再用平方差公式得到 \((A+B)(A-B)=0\)
- \(A = |B|\) 可以等价地转化为 \((A+B)(A-B)=0\) 且 \(\color{red}A \geq 0\)
- \(A = -|B|\) 可以等价地转化为 \((A+B)(A-B)=0\) 且 \(\color{red}A \leq 0\)
最值函数中地两个例子也可以用平方的方法解决。
三角不等式
\[|a+b| \leq |a| + |b|\]
当且仅当 \(ab\geq 0\) 时等号成立。
将 \(b\) 替换为 \(-b\) 得到
\[|a-b| \leq |a| + |b|\]
当且仅当 \(ab\leq 0\) 时等号成立。
\[||a|-|b|| \leq |a-b|\]
当且仅当 \(ab\geq 0\) 时等号成立。
将 \(b\) 替换为 \(-b\) 得到
\[||a|-|b|| \leq |a+b|\]
当且仅当 \(ab\leq 0\) 时等号成立。
例 2：已知 \(|x+m|+|x-m|=2|m|\) 恰有 \(3\) 个整数解，求 \(m\) 的取值范围。
前文中这题也可以用这样解决：
根据三角不等式
\[|x+m|+|x-m|\geq|(x+m)-(x-m)|=2|m|\]
当且仅当 \((x+m)(x-m)\leq 0\) 是等号成立。
而题目条件恰为“等号成立”，因此 \(|x+m|+|x-m|=2|m|\) 等价于 \((x+m)(x-m)\leq 0\)，即 \(|x|\leq|m|\) 恰有 \(3\) 个整数解。
总结
五个方向
- 直接去绝对值
- 数形结合
- 最值函数
- 平方
- 三角不等式
